Câu 14 trang 214 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được cho bởi \({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1\) với mọi \(n \ge 1\)

LG a

 Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\), trong đó \({v_n} = {u_n} - 1\) là một cấp số nhân. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Lời giải chi tiết:

 Với mọi \(n \ge 1,\) ta có \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} - 1 = 2\left( {{u_n} - 1} \right) \Rightarrow {v_{n + 1}} = 2{v_n}\)

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - 1\) và công bội \(q = 2\)

LG b

Tìm số hạng tổng quát của dãy số  \(\left( {{u_n}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Từ câu a) suy ra số hạng tổng quát của  \(\left( {{v_n}} \right)\) là  \({v_n} = {2^{n - 1}}\). Do đó số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_{n + 1}} = {v_n} + 1 = {2^{n - 1}} + 1\)

LG c

Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{100}} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_{100}}+ 100\)

Lời giải chi tiết:

 \(S = {2^{100}} + 99\)