Câu 2 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Đề bài

Biết \(\sin {\pi  \over {10}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 4}.\) Chứng minh rằng hàm số

            \(y = \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\)          

Đồng biến trên \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi  \over {10}}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Từ \(\sin {\pi  \over {10}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 4}\) suy ra \(\cos {\pi  \over {10}} = \sqrt {1 - {{\left( {{{\sqrt 5  - 1} \over 4}} \right)}^2}}  = {{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \over 4}\). Do đó

\(y = \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\)

\(= 4\cos \left( {x - {\pi  \over {10}}} \right)\)

Khi x tăng từ \({{ - 9\pi } \over {10}}\) đến \({\pi  \over {10}}\) thì \(x - {\pi  \over {10}}\) tăng từ \( - \pi \) đến 0 nên \(y = 4\cos \left( {x - {\pi  \over {10}}} \right)\) tăng từ -4 đến 4. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi  \over {10}}} \right)\)