Câu 19 trang 215 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Đề bài

Chứng minh hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^5} + {x^2}} \over {{x^2} + x}}\,\,voi\,\,x \ne 1\,\,va\,\,x \ne 0 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,x = - 1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\)

Liên tục trên R

Lời giải chi tiết

Hiển nhiên hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0\)

Với \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 0\), ta có \(f\left( x \right) = x\left( {{x^2} - x + 1} \right),\) suy ra

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} x\left( {{x^2} - x + 1} \right) =  - 3 = f\left( { - 1} \right)\), và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 0 = f\left( 0 \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) cũng liên tục tại \(x =  - 1\) và tại \(x = 0,\) suy ra nó lên tục trên R