Bài 1.66 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm các nghiệm thuộc khoảng\(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình

\({{\sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x} } \over {\cos x}} = 4\sin x\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện xác định của phương trình \(\cos x \ne 0.\)

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(\sqrt 2 \left( {\left| {\cos {x \over 2}} \right| + \left| {\sin {x \over 2}} \right|} \right) = 2\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Do \(x = \pi \) không là nghiệm của (1) nên ta chỉ cần xét hai khả năng sau:

1) \(x \in \left( {0;\pi } \right).\) Lúc này \(0 < {x \over 2} < {\pi  \over 2},\) kéo theo \(\cos {x \over 2} > 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\).

Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr 
x = {{3\pi } \over {10}} + {{4l\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Để tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right),\) ta cần tìm k và l nguyên sao cho

\( \bullet \,\,0 < {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < \pi  \) \(\Leftrightarrow  - {1 \over 8} < k < {5 \over 8} \Leftrightarrow k = 0.\) Ta nhận \(x = {\pi  \over 6}\)

\( \bullet \,\,0 < {{3\pi } \over {10}} + l{{4\pi } \over 5} < \pi \) \( \Leftrightarrow  - {3 \over 8} < l < {7 \over 8} \Leftrightarrow l = 0.\) Ta nhận \(x = {{3\pi } \over {10}}\)

2) \(x \in \left( {\pi ;2\pi } \right).\) Lúc này \({\pi  \over 2} < {x \over 2} < \pi ,\) kéo theo \(\cos {x \over 2} < 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\). Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} + l{{4\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Tương tự trên, ta có

\( \bullet \,\,\pi  <  - {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < 2\pi \) \( \Leftrightarrow {7 \over 8} < k < {{13} \over 8} \Leftrightarrow k = 1.\)

Ta nhận được \(x =  - {\pi  \over 6} + {{4\pi } \over 3} = {{7\pi } \over 6}\)

\( \bullet \,\,\pi  < {\pi  \over 2} + l{{4\pi } \over 5} < 2\pi  \) \(\Leftrightarrow {5 \over 8} < l < {{15} \over 8} \Leftrightarrow l = 1.\)

Ta nhận được \(x = {\pi  \over 2} + {{4\pi } \over 5} = {{13\pi } \over {10}}\)

Kết luận: Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(x = {\pi  \over 6},x = {{3\pi } \over {10}},x = {7 \pi \over 6}\) và \(x = {{13\pi } \over {10}}\)