Bài 1.62 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình

\(\sin \left( {2x + {{9\pi } \over 2}} \right) - 3\cos \left( {x - {{15\pi } \over 2}} \right) \)\(= 1 + 2\sin x\)

Tính giá trị gần đúng, chính xác đến phần trăm của các nghiệm đó.

Lời giải chi tiết

Do \(\sin \left( {2x + {{9\pi } \over 2}} \right) = \cos 2x\) và \(\cos \left( {x - {{15\pi } \over 2}} \right) =  - \sin x\) nên phương trình đã cho có thể viết thành:

\(\cos 2x + 3\sin x = 1 + 2\sin x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + 3\sin x - 1 - 2\sin x = 0\\
\Leftrightarrow - 2{\sin ^2}x + \sin x = 0\\
\Leftrightarrow \sin x\left( { - 2\sin x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right],\) phương trình này có các nghiệm \(x = 0,x = \pi  \approx 3,14;\) \(x = 2\pi  \approx 6,28;x = {\pi  \over 6} \approx 0,52\) và \(x = {{5\pi } \over 6} \approx 2,62\)