Bài 1.63 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình sau:

LG a

\(\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 \) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{6}\sin 2x + \sin \frac{\pi }{6}\cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{6} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{24}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over {24}} + k\pi ;x = {{7\pi } \over {24}} + k\pi \) 

LG b

\(2\sqrt {2} (\sin x + \cos x)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến phương trình đã cho như sau:

\(\eqalign{
& 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x \cr&= 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cos ^2}x \cr&+ 2\sqrt 2 \sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(2\sqrt {2} (\sin x + \cos x) \cos x= 3 + \cos 2x\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x \cr&= 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cos ^2}x \cr&+ 2\sqrt 2 \sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Xét \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \) thì \({\cos ^2}x = 1\), thay vào phương trình trên được:

\(\left( {2\sqrt 2  - 4} \right).1 + 0 - 0 = 2\sqrt 2  - 4 \ne 0\) nên \(x = k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của pt cho \({\sin ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\left( {2\sqrt 2  - 4} \right){\cot ^2}x + 2\sqrt 2 \cot x - 2 = 0\)

Đặt \(t = \cot x\) ta có phương trình:

\(\left( {2\sqrt 2  - 4} \right){t^2} + 2\sqrt 2 t - 2 = 0\)

Có \(\Delta ' = 2 + 2\left( {2\sqrt 2  - 4} \right) = 4\sqrt 2  - 6 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

LG c

 \({\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 + {\sin ^2}x\)        

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 + {\sin ^2}x\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + {\sin ^2}x\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin x\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x + \frac{\pi }{3} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x =  - {\pi  \over 3} + k\pi \)

LG d

\(4\sqrt 3 \sin x\cos x + 4{\cos ^2}x\)\( -2\sin^2 x= {5 \over 2}\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho như sau:

\(\eqalign{
& 8\sqrt 3 \sin x\cos x + 8{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x = 5{\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x + 8\sqrt 3 \sin x\cos x - 9{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(4\sqrt 3 \sin x\cos x + 4{\cos ^2}x\)\( -2\sin^2 x= {5 \over 2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 8\sqrt 3 \sin x\cos x + 8{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x = 5{\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x \cr 
& \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x + 8\sqrt 3 \sin x\cos x - 9{\sin ^2}x = 0 \cr} \)

Dễ thấy \(\sin x = 0\) không thỏa mãn phương trình nên chia cả hai vế cho \({\sin ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}3{\cot ^2}x + 8\sqrt 3 \cot x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cot x =  - 3\sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3\sqrt 3 } \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over 3} + k\pi ,x = arccot (- 3\sqrt 3 ) + k\pi \).