Bài 1.61 trang 18 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình sau:

LG a

\(\cos \left( {{\pi  \over 7} - 3x} \right) =  - {{\sqrt 3 } \over 2}\)               

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{\pi }{7} - 3x} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{7}} \right) = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - \frac{\pi }{7} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
3x - \frac{\pi }{7} = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = \frac{{41\pi }}{{42}} + k2\pi \\
3x = - \frac{{29\pi }}{{42}} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{41\pi }}{{126}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = - \frac{{29\pi }}{{126}} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {{41\pi } \over {126}} + k{{2\pi } \over 3},x = -{{29\pi } \over {126}} + k{{2\pi } \over 3}\)  

LG b

 \(6\tan \left( {2x - {\pi  \over 3}} \right) =  - 2\sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
6\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\sqrt 3 \\
\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\
\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over {12}} + k{\pi  \over 2}\)

LG c

\(2{\cos ^2}x - {\sin ^2}x - 4\cos x + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Quy về phương trình bậc hai đối với \(\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
2{\cos ^2}x - {\sin ^2}x - 4\cos x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 4\cos x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 4\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 1\\
\cos x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \pm \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = 2k\pi ,x =  \pm \arccos \frac{1}{3}   + 2k\pi \).

LG d

\(9{\sin ^2}x - 5{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Quy về phương trình bậc hai đối với \(\sin x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
9{\sin ^2}x - 5{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\\
\Leftrightarrow 9{\sin ^2}x - 5\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 5\sin x + 4 = 0\\
\Leftrightarrow 14{\sin ^2}x - 5\sin x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin x = - \frac{1}{7}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \arcsin \left( { - \frac{1}{7}} \right) + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{7}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

LG e

\(\cos 2x + {\sin ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\) 

Phương pháp giải:

Quy về phương trình bậc hai đối với \(\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\cos 2x + {\sin ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + 2\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {\cos x + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \cos x = - 1\\
\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi
\end{array}\)

Vậy \(x = \pi  + 2k\pi \)

LG f

\(3\cos 2x + 2(1 + \sqrt 2  + \sin x)\sin x\)\( - 3 - \sqrt 2  = 0\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Viết lại phương trình như sau:

\(\eqalign{
& 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2{\sin ^2}x \cr&+ 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sin x - 3 - \sqrt 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sin x + \sqrt 2 = 0 \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(3\cos 2x + 2(1 + \sqrt 2  + \sin x)\sin x \)\(- 3 - \sqrt 2  = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow  3\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2{\sin ^2}x\cr&+ 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sin x - 3 - \sqrt 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sin x + \sqrt 2 = 0 \cr} \)

Đặt \(t = \sin x\) ta được:

\(4{t^2} - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2  = 0\) (*)

Có \(\Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - 4\sqrt 2 \) \( = 3 - 2\sqrt 2  = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\)

Do đó phương trình (*) có nghiệm:

\(\begin{array}{l}{t_1} = \frac{{1 + \sqrt 2  + \sqrt 2  - 1}}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\{t_2} = \frac{{1 + \sqrt 2  - \sqrt 2  + 1}}{4} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over 6} + 2k\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + 2k\pi ,\) \(x = {\pi  \over 4} + 2k\pi ,x = {{3\pi } \over 4} + 2k\pi \).