Bài 1.64 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\(\sin \left( {{\pi  \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi  + 2x} \right) \)\(- \sqrt 2 \cos 5x = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\sin 3x \ne 0\).

\(\sin \left( {{\pi  \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi  + 2x} \right) \)\(- \sqrt 2 \cos 5x = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left( {\pi + 2x} \right) - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos 2x{{\cos 3x} \over {\sin 3x}} - \sin 2x - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x - \sin 2x\sin 3x - \sqrt 2 \sin 3x\cos 5x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos 5x\left( {1 - \sqrt 2 \sin 3x} \right) = 0 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 5x = 0\\
\sin 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5},x = {\pi  \over {12}} + {{2k\pi } \over 3},\)\(x = {\pi  \over 4} + {{2k\pi } \over 3}\).

LG b

\({\tan ^2}x + \cos 4x = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\tan ^2}x = {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}}\) và \(\cos 4x = 2{\cos ^2}2x - 1.\)

Điều kiện \(\cos 2x \ne  - 1,\) phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

\({\tan ^2}x + \cos 4x = 0 \)

\(\Leftrightarrow {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}} = 1 -2 {\cos ^2}2x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = \left( {1 - 2{{\cos }^2}2x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 2{\cos ^3}2x\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

LG c

\(9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& 9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8 \cr 
& \Leftrightarrow 9\sin x + 6\cos x - 6\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - 8=0 \cr 
& \Leftrightarrow 9\left( {\sin x - 1} \right) - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + 2\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {7 - 6\cos x - 2\sin x} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x - 1 = 0\\
2\sin x + 6\cos x = 7
\end{array} \right.\)

Phương trình \(2\sin x + 6\cos x = 7\) vô nghiệm do \({2^2} + {6^2} < {7^2}\).

Do đó \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).

LG d

\({\sin ^4}\left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {\sin ^4}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\cr& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left[ {1 - \cos \left( {2x + {\pi \over 2}} \right)} \right]^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x \cr 
& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {1 - \cos 2x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = {\sin ^2}2x\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)

Vậy \(x = {{k\pi } \over 2}\).

LG e

\(\left( {2\sin x + 1} \right)\left( {3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right) + 4{\cos ^2}x = 3\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {2\sin x + 1} \right)\left( {3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right) + 4{\cos ^2}x = 3 \cr 
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 4{\sin ^2}x - 8\sin x \cr&+ 3\cos 4x + 2\sin x - 4 + 4{\cos ^2}x - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 3\cos 4x - 6\sin x - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {6\sin x\cos 4x - 6\sin x} \right) + \left( {3\cos 4x - 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 6\sin x\left( {\cos 4x - 1} \right) + 3\left( {\cos 4x - 1} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow 3 \left( {2\sin x + 1} \right)\left( {\cos 4x - 1} \right) = 0 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{2}\\
\cos 4x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {{k\pi } \over 2},x =  - {\pi  \over 6} + 2k\pi ,\)\(x = {{7\pi } \over 6} + 2k\pi \).

LG f

\(\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 2\sin x\)

Lời giải chi tiết:

Do \(\sqrt 2 \sin \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = \sin x + \cos x\)  nên phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

\(\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 2\sin x \)

\(\Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\)

Dễ thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình trên.

Với điều kiện \(\cos x \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}{{{{\cos }^3}x}} = \frac{{4\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} \right)^3} = \frac{{4\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\tan x + 1} \right)^3} = 4\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 4\tan x + 4{\tan ^3}x\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left( {\tan x - 1} \right) + \left( {\tan x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan x - 1 = 0\,\,\left( {do\,3{{\tan }^2}x + 1 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \).