Bài 1.65 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.65 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...


Giải các phương trình sau:

LG a

\(2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1\)

Lời giải chi tiết:

Với điều kiện \(\sin x \ne 0,\) ta có:

\(\eqalign{
& 2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1 \cr& \Leftrightarrow 2\sin x + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4\sin x\cos x + 1\cr&\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \cos x = 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2{{\sin }^2}x - \sin x} \right) - \left( {4{{\sin }^2}x\cos x - \cos x} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin x - 1} \right) - \cos x\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0\\
\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0
\end{array} \right.\)

+) \(2\sin x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\)

+) \(\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0\)

Đặt \(t = \sin x - \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) ta có:

\({t^2} = 1 - 2\sin x\cos x \) \(\Rightarrow 2\sin x\cos x = 1 - {t^2}\)

Thay vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}
t - \left( {1 - {t^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\left( {TM} \right)\\
t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \sin x - \cos x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = \pi - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi\),\(x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2 } + k2\pi, \)\(x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \)


LG b

\({\tan ^2}x(1 - {\sin ^3}x) + {\cos ^3}x - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(x = {\pi  \over 4} + k\pi ,x = 2k\pi ,x = {\pi  \over 4} \pm \alpha  + 2m\pi ,\) với \(\cos \alpha  = {{\sqrt 2  - 1} \over {\sqrt 2 }}\)

Hướng dẫn: Với điều kiện \(\cos x \ne 0,\) ta có:

\(\eqalign{
& {\tan ^2}x(1 - {\sin ^3}x) + {\cos ^3}x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^3}x} \right) - {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^3}x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\left( {1 - {{\sin }^3}x} \right) - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\left( {1 - {{\cos }^3}x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left[ {\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \sin x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]=0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) + \sin x\cos x\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x + \sin x\cos x} \right) = 0 \cr} \)

Đối với phương trình \(\sin x + \cos x + \sin x\cos x = 0,\) đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)

Chú ý rằng tất cả các nghiệm của phương trình \(1 - \sin x = 0\) đều không thỏa mãn điều kiện \(\cos x \ne 0\) nên bị loại.


LG c

\(1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\) 

Lời giải chi tiết:

\(x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2},x =  - {\pi  \over 4} + l\pi \)

Hướng dẫn: Với điều kiện \(\sin 2x \ne 0,\) ta có:

\(\eqalign{
& 1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + \sin 2x\cos 2x = 1 - \cos 2x \cr 
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow {\cos ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\cos 2x - \sin 2x - 1} \right) = 0 \cr} \)

Chú ý, loại các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện \(\sin 2x \ne 0\)


LG d

 \(6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\)

Lời giải chi tiết:

 Vô nghiệm

Hướng dẫn: Với điều kiện \(\cos 2x \ne 0,\) ta có

\(\eqalign{
& 6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\cr& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 5sin2x\cos x \cr 
& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 10\sin x{\cos ^2}x \cr&\Leftrightarrow 3\sin x - {\cos ^3}x - 5\sin x{\cos ^2}x = 0 \cr} \)

Với \(\cos x \ne 0,\) chia hai vế cho \({\cos ^3}x\) ta được một phương trình đối cới \(\tan x,\) tuy nhiên các nghiệm của phương trình này đều không thỏa mãn điều kiện \(\cos 2x \ne 0\).



Từ khóa phổ biến