Phương pháp đổi biến số

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

$\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}$

- Công thức đổi biến:

$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int {f\left( t \right)dt} $ $ = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $t = u\left( x \right)$.

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, trong đó $u\left( x \right)$ là hàm được chọn thích hợp.

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} $ $ = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

Ví dụ: Tính nguyên hàm $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} $.

Giải:

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 $ $ \Rightarrow 2tdt = 2xdx$.

Do đó: $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx} $ $= \int {t.2tdt} = \int {2{t^2}dt} = \dfrac{2}{3}{t^3} + C $ $= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} + C$.

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $x = u\left( t \right)$.

- Bước 1: Đặt $x = u\left( t \right)$, trong đó $u\left( t \right)$ là hàm số ta chọn thích hợp.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $dx = u'\left( t \right)dt$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C$

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I = t + \sin 2t + C.$

B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$

C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Suy ra

$\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t} = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t} = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$

(Vì $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0$ $ \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x} = \cos x$)

Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là: