Bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

LG a

a) \(f(x) = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\);

Phương pháp giải:

+) Biến đổi các biểu thức cần tính nguyên hàm về các hàm số dạng cơ bản.

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán: 

\(\begin{array}{l}
\int {{x^n}dx = \dfrac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C;\;\;\int {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C;\;\;} \\
\int {{e^x}dx = {e^x} + C;\;\;\int {\cos xdx = - \sin x + C;} } \\
\int {\sin xdx = - \cos x + C} ;\;\;\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C;} \\
\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dc = - \cot x + C....} 
\end{array}\)

+ Công thức phân tích tích thành tổng: \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x>0\). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

\(f(x) = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.\)

\(\Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx \\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.\)

LG b

b) \( f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx\\= \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\dfrac{2}{e}} \right)}} + {e^{ - x}} + C = \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + C.\end{array}\)

LG c

c) \(f(x) = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\);

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} } dx\\ =  - \cot x + \tan x + C = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C = \dfrac{{ - \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C =  - 2\cot2 x + C.\end{array}\)

LG d

d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right).\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{1}{8}\cos 8x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ =  - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C.\end{array}\)

LG e

e) \(f(x) = tan^2x\)        

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}\\  = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {dx} \\= \tan x - x + C.\end{array}\)

LG g

g) \(f(x) = e^{3-2x}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {e^{3 - 2x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {{e^{3 - 2x}}dx} \\=  - \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 - 2x}}\left( {3 - 2x} \right)'dx}  =  - \dfrac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\end{array}\)

LG h

h) \(f(x) =\dfrac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - 2x + 2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} \) \(= \dfrac{{1 - 2x}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} + \dfrac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{3\left( {1 - 2x} \right)}}.\)

\(\Rightarrow \int \dfrac{dx}{(1+x)(1-2x)}=\dfrac{1}{3}\int (\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x})dx \)

\( = \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\)

Đặt \(1 + x = t \Rightarrow dx = dt\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  = \int {\dfrac{1}{t}dt} \) \( = \ln \left| t \right| + {C_1} = \ln \left| {1 + x} \right| + {C_1}\)

Đặt \(1 - 2x = t \Rightarrow  - 2dx = dt\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx}  = \int {\dfrac{{ - dt}}{t}} \) \( =  - \ln \left| t \right| + {C_2} =  - \ln \left| {1 - 2x} \right| + {C_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - 2x} \right|} \right) + C\\ = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\end{array}\)

Vậy \(\int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\)