Lí thuyết nguyên hàm
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu (x) = f(x) với mọi x ∈ K.
1, Nguyên hàm và tính chất
a. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
b. Định lý
1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.
2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx
Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.
c. Tính chất của nguyên hàm
∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.
∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)
∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
d. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
|
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của hàm hợp |
|
\(\int\)0dx = C \(\int\)dx = x + C \(\int\)\(x^{\alpha }\)dx = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) +C (\(\alpha\)≠ -1) \(\int\)\(\frac{1}{x}\)dx =ln\(\left | x \right |\) +C \(\int\)\(e^{x}\)dx = \(e^{x}\) +C \(\int\)\(a^{x}\)dx = \(\frac{a^{x}}{lna}\) + C (a>0, a ≠ 1) \(\int\)cosxdx = sinx + C \(\int\)sinxdx = - cosx + C \(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}x)}\)dx = tanx + C \(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}x)}\)dx = - cotx + C |
\(\int\)0du = C \(\int\)du= u +C \(\int\)\(u^{\alpha }\)du = \(\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) + C \(\int\)\(\frac{1}{u}\)du = ln \(\left | u\right |\) + C \(\int\)\(e^{u}\)du = \(e^{u}\) +C \(\int\)\(a^{u}\)du = \(\frac{a^{u}}{lna}\) + C \(\int\)cosudu = sinu + C \(\int\)sinudu = -cosu +C \(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}u)}\)du= tanu +C \(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}u)}\)du = - cotu +C |
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Định lý 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)
Hệ quả: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)\)
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).
Chú ý: Viết gọn \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Lí thuyết nguyên hàm timdapan.com"
