Lí thuyết nguyên hàm

1, Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

b. Định lý

1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.

2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

c. Tính chất của nguyên hàm

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du}  = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx}  = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)

Hệ quả: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)\)

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).

Chú ý: Viết gọn \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \)