Bài 1 trang 100 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a)  \(e^{-x}\) và \(-  e^{-x}\);        b) \(\sin 2x\) và \(\sin^2x\) 

c) \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\) và \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)

Lời giải chi tiết

a) \(e^{-x}\) và \(-  e^{-x}\) là nguyên hàm của nhau, vì:

\(({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left( { - 1} \right)=  - {e^{ - x}}\)  và \(( - {e^{ - x}})' = \left( { - 1} \right)( - {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}\)

b)  \(sin^2x\)   là nguyên hàm của \(sin2x\), vì:

\(\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)' = 2sinxcosx = sin2x\)

c) \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\) là một nguyên hàm của \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\)  vì:

\(({(1-\dfrac{4}{x})e^{x})}'\) \(= \dfrac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)\(= \left (1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}} \right )e^{x}\) \(= (1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}.\)