Bài 9 trang 212 SBT đại số 10

Giải và biện luận các hệ phương trình sau

LG a

(I)\(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 1(1)\\ax + y = 2a(2);\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 1 - ay\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}a\left( {1 - ay} \right) + y = 2a\\ \Leftrightarrow a - {a^2}y + y = 2a\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {a^2}} \right)y = a\end{array}\)

+) TH1: \(1 - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a =  \pm 1\)

Nếu \(a = 1\) thì phương trình trở thành \(0y = 1\) (vô nghiệm)

Nếu \(a =  - 1\) thì phương trình trở thành \(0y =  - 1\) (vô nghiệm)

+) TH2: \(a \ne  \pm 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow y = \dfrac{a}{{1 - {a^2}}}\)

Khi đó \(x = 1 - a.\dfrac{a}{{1 - {a^2}}} = \dfrac{{1 - 2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\)

Vậy

Với \(a \ne  \pm 1\) hệ phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{1 - 2{a^2}}}{{1 - {a^2}}};y = \dfrac{a}{{1 - {a^2}}}\);

Với \(a =  \pm 1\) hệ phương trình vô nghiệm.

LG b

(II) \(\left\{ \begin{array}{l}ax + y = a(1)\\x + ay = {a^2}(2).\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = a - ax\) thay vào (2) được:

\(\begin{array}{l}x + a\left( {a - ax} \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow x + {a^2} - {a^2}x = {a^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {a^2}} \right)x = 0\end{array}\)

+) TH1: \(1 - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a =  \pm 1\)

Nếu \(a = 1\) thì phương trình trở thành \(0x = 0\) nên nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow y = 1 - 1.x = 1 - x\)

Do đó hệ có nghiệm \(x = t,y = 1 - t\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Nếu \(a =  - 1\) thì phương trình trở thành \(0x = 0\) nên nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow y =  - 1 - \left( { - 1} \right).x =  - 1 + x\)

Do đó hệ có nghiệm \(x = t,y =  - 1 + t\) với \(t \in \mathbb{R}\).

+) TH2: \(a \ne  \pm 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow x = 0\) \( \Rightarrow y = a\)

Vậy

Nếu \(a \ne  \pm 1\) thì x = 0, y = a;

Nếu \(a =  - 1\) thì \(x = t ,y = -1+t(t \in R)\);

Nếu \(a = 1\) thì \(x = t,y = 1 - t(t \in R)\).