Bài 5 trang 212 SBT đại số 10

Đề bài

Tính \(\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}}\), trong đó \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình bậc hai

\(2{x^2} - 3ax - 2 = 0\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\Delta  = {\left( {3a} \right)^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) \) \(= 9{a^2} + 16 > 0,\forall a\) nê phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Khi đó,

\(\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}} \) \(= \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}} \) \( = \dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\) \(= \dfrac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}}\)

\( = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}\left[ {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - 3.\left( { - 1} \right)} \right]}}{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}\)

\( =  - \dfrac{{3a}}{2}\left[ {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + 3} \right] \) \( =  - \dfrac{{27{a^3} + 36a}}{8}\)