Bài 19 trang 214 SBT đại số lớp 10

Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính

LG a

\(\cos {67^0}{30'}\) và \({\rm{cos7}}{{\rm{5}}^0}\);

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({67^0}30' = \dfrac{{{{135}^0}}}{2}\)

\(\cos {135^0} = \cos \left( {2.\dfrac {{{{135}^0}}}{2}} \right)\) \( = 2{\cos ^2}\dfrac {{{{135}^0}}}{2} - 1 \)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\dfrac {{{{135}^0}}}{2} \) \( = \dfrac {1}{2}\left( {1 + \cos {{135}^0}} \right) \) \( = \dfrac {1}{2}.\left( {1 - \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\(  \Rightarrow \cos {67^0}30' \) \( = \sqrt {\dfrac {1}{2}.\left( {1 - \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}} \right)} \) \(  = \dfrac {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)

\(\cos {75^0} = \cos \left( {{{45}^0} + {{30}^0}} \right)\) \(  = \cos {45^0}\cos {30^0} - \sin {45^0}\sin {30^0} \) \( = \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac {{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac {1}{2} \) \( = \dfrac {{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\)

LG b

\(\dfrac{{\cot {{15}^0} + 1}}{{2\cot {{15}^0}}}\);

Lời giải chi tiết:

\(\cot {30^0} = \dfrac{1}{{\tan {{30}^0}}} \) \(= 1:\tan \left( {{{2.15}^0}} \right) \) \(= 1:\dfrac{{2\tan {{15}^0}}}{{1 - {{\tan }^2}{{15}^0}}} \) \(= \dfrac{{1 - {{\tan }^2}{{15}^0}}}{{2\tan {{15}^0}}} \) \(= \dfrac{{\left( {1 - {{\tan }^2}{{15}^0}} \right){{\cot }^2}{{15}^0}}}{{2\tan {{15}^0}{{\cot }^2}{{15}^0}}} \) \(= \dfrac{{{{\cot }^2}{{15}^0} - 1}}{{2\cot {{15}^0}}}\)

Đặt \(x = \cot {15^0}\) và chú ý rằng \(\cot{30^0} = \sqrt 3 \) ta có

\(\sqrt 3  = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{2x}} \Leftrightarrow {x^2} - 2\sqrt 3  - 1 = 0\).

Giải phương trình trên ta được \(x = 2 + \sqrt 3 \) hay \(\cot 15^0=2 + \sqrt 3 \)

(nghiệm \(x = \sqrt 3  - 2\) loại vì \(\cot {15^0} > 0\)).

Do đó

\(\dfrac{{{{\cot }}{{15}^0} + 1}}{{2\cot {{15}^0}}} \) \(= \dfrac{{2 + \sqrt 3  + 1}}{{2(2 + \sqrt 3 )}} \) \(= \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{2(2 + \sqrt 3 )}}\) \(  = \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2}\).

LG c

\(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}\);

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}\) \( = \tan {20^0}\tan {40^0}\tan \left( {{{180}^0} - {{100}^0}} \right)\)

\( =  - \tan {20^0}\tan {40^0}\tan {100^0}\)

\( = - \tan ({60^0} - {40^0})\tan {40^0}\tan ({60^0} + {40^0})\)

\(=  - \frac{{\tan {{60}^0} - \tan {{40}^0}}}{{1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\tan {40^0}\frac{{\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}}}{{1 - \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\)

\(\begin{array}{l}
= - \frac{{\left( {\tan {{60}^0} - \tan {{40}^0}} \right)\left( {\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}} \right)\tan {{40}^0}}}{{\left( {1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}} \right)\left( {1 - \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}} \right)}}\\
= - \frac{{{{\tan }^2}{{60}^0} - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - {{\tan }^2}{{60}^0}{{\tan }^2}{{40}^0}}}.\tan {40^0}
\end{array}\)

\(=  - \dfrac{{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\tan {40^0} \) \(=  - \tan {120^0} = \sqrt 3 \)

(Áp dụng bài 17d ôn tập cuối năm)

\(\dfrac{{\tan 3a}}{{\tan a}} = \dfrac{{3 - {{\tan }^2}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}\)

Ta có: \(\dfrac{{\tan {{120}^0}}}{{\tan {{40}^0}}} = \dfrac{{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\) hay \(\tan {120^0} = \frac{{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}.\tan {40^0}\) )