Bài 6 trang 212 SBT đại số 10

Đề bài

Tìm giá trị của a sao cho phương trình

\({x^2} - 6ax + 2 - 2a + 9{a^2} = 0\)

có hai nghiệm dương phân biệt và đều lớn hơn 3.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = 9{a^2} - \left( {2 - 2a + 9{a^2}} \right)\) \( = 2a - 2\)

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt lớn hơn \(3\) (nghĩa là \({x_1} > 3,{x_2} > 3\))

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left( {{x_1} - 3} \right) + \left( {{x_2} - 3} \right) > 0\\\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2 > 0\\\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6 > 0\\{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\6a - 6 > 0\\2 - 2a + 9{a^2} - 3.6a + 9 > 0\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a > 1\\9{a^2} - 20a + 11 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a > \dfrac{{11}}{9}\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a > \dfrac{{11}}{9}\)

Vậy \(a > \dfrac{{11}}{9}\).

Cách khác:

Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai “Trong trái ngoài cùng”

\(\Delta ' = 9{a^2} - \left( {2 - 2a + 9{a^2}} \right)\) \( = 2a - 2\)

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt lớn hơn \(3\) \( \Leftrightarrow \) tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 6ax + 2 - 2a + 9{a^2}\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(3 < {x_1} < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af\left( 3 \right) > 0\\\dfrac{S}{2} > 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2 > 0\\1.\left( {{3^2} - 6a.3 + 2 - 2a + 9{a^2}} \right) > 0\\3a > 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\9{a^2} - 20a + 11 > 0\\a > 1\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a > \dfrac{{11}}{9}\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a > \dfrac{{11}}{9}\)

Chú ý: Điều kiện \(af\left( 3 \right) > 0\) là do \(3 < {x_1} < {x_2}\) nghĩa là \(3\) nằm ngoài khoảng hai nghiệm, do đó \(f\left( 3 \right)\) cùng dấu với \(a\) hay \(af\left( 3 \right) > 0\).