Bài 14 trang 213 SBT đại số 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy hãy tìm tọa độ các đỉnh M, N của hình vuông AMBN, biết tọa độ hai đỉnh A(1; 1) và B(3; 5).

Lời giải chi tiết

Giả sử M(x; y) là đỉnh của hình vuông AMBN.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM} } \right|\\\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {BM} \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = B{M^2}\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\end{array} \right.\)

\(A{M^2} = B{M^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\) \( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1\) \( = {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 10y + 25\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8y = 32\\ \Leftrightarrow x + 2y = 8\\ \Leftrightarrow x = 8 - 2y\end{array}\)

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\) \( + \left( {y - 1} \right)\left( {y - 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 + {y^2} - 6y + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 8 = 0\)

Thay \(x = 8 - 2y\) vào pt ta được:

\({\left( {8 - 2y} \right)^2} + {y^2} - 4\left( {8 - 2y} \right) \) \(- 6y + 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{y^2} - 32y + 64 + {y^2}\) \( - 32 + 8y - 6y + 8 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{y^2} - 30y + 40 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 4 \Rightarrow x = 0\\y = 2 \Rightarrow x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy M(4; 2), N(0; 4) hoặc M(0; 4), N(4; 2).