Bài 1 trang 211 SBT đại số 10

Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)trong mỗi trường hợp sau

LG a

Parabol nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng \(y = \dfrac{x}{2}\)tại các điểm có hoành độ là -1 và \(\dfrac{3}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số\(f(x) = a{x^2} + bx + c\) là hàm số chẵn, do đó

\(f(x) = a{x^2} + bx + c \) \(= a{x^2} - bx + c = f( - x),\forall x\)

Suy ra b = 0. Ta còn phải xác định a và c.

Vì parabol cắt đường thẳng \(y = \dfrac{x}{2}\)tại các điểm có hoành độ -1 và \(\dfrac{3}{2}\)nên nó đi qua các điểm

\(( - 1; - \dfrac{1}{2})\) và \((\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{4})\).

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - \dfrac{1}{2}\\\dfrac{{9a}}{4} + c = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được \(a = 1,c =  - \dfrac{3}{2}\).

Parabol phải tìm là \(y = x{}^2 - \dfrac{3}{2}\),

LG b

Parabol đi qua gốc tọa độ và có đỉnh là điểm (1;2).

Lời giải chi tiết:

Vì parabol đi qua (0;0) nên y(0) = c = 0.

Do parabol có đỉnh \(\left( {1;2} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}
- \dfrac{b}{{2a}} = 1\\
- \dfrac{\Delta }{{4a}} = 2
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2a\\
{b^2} + 8a = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2a\\
4{a^2} + 8a = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = 0\left( {loai} \right)\\
a = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 4
\end{array} \right.\)

Parabol phải tìm là \(y =  - 2{x^2} + 4x\).

LG c

Parabol đi qua hai điểm A(-1; 2), B(2; 3) và có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.

Lời giải chi tiết:

Trục đối xứng \(x = 1\) \( \Rightarrow  - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b =  - 2a\)

Parabol đi qua các điểm \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {2;3} \right)\)

\( \Rightarrow \) tọa độ các điểm A, B thỏa mãn phương trình parabol

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = a - b + c\\3 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\2 = a - b + c\\3 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{2}{3}\\c = 3\end{array} \right.\)

Parabol cần tìm là \(y =  - \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{2}{3}x + 3\).