Bài 8 trang 212 SBT đại số 10

Cho phương trình bậc hai

\(a{x^2} - 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0\) (E)

Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.

LG a

Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?

Lời giải chi tiết:

+) TH1: a=0 phương trình trở thành  \( -2x=0 \Leftrightarrow  x=0\) nên phương trình có nghiệm.

+) TH2: \(a\ne 0\).

Phương trình có nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta ' = {(a + 1)^2} - {(a + 1)^2}{a^2} \) \(= {(a + 1)^2}(1 - {a^2}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow  - 1 \le a \le 1,a \ne 0\).

Vậy với \(- 1 \le a \le 1\) thì phương trình có nghiệm.

LG b

Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).

Lời giải chi tiết:

Với \(-1\le a\le 1,a\ne 0\) ta có:

\(P = {(a + 1)^2}\)

\(P = 0 \Leftrightarrow a =  - 1\), khi đó \({x_1} = {x_2} = 0\).

\(P > 0,\forall a \ne  - 1\), khi đó \({x_1},{x_2}\) cùng dấu.

Xét \(a\ne -1, a\ne 0\) ta có: \(S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\)

+) \(S > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 0\\a <  - 1\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \( - 1 \le a \le 1,\) \(a \ne 0,a \ne  - 1\) ta được \(S < 0 \Leftrightarrow 0 < a \le 1\)

Khi đó hai nghiệm cùng dương.

+) \(S < 0 \Leftrightarrow  - 1 < a < 0\), khi đó hai nghiệm cùng âm.

Vậy:

Với \(0 < a \le 1\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;

Với \( - 1 <a < 0\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;

LG c

Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.

Lời giải chi tiết:

Từ \(S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\) suy ra \(a = \dfrac{2}{{S - 2}}\).

Do đó: \(P = {\left( {\dfrac{2}{{S - 2}} + 1} \right)^2} = \dfrac{{{S^2}}}{{{{(S - 2)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow {(S - 2)^2}P - {S^2} = 0\)

LG d

Với những giá trị nào của a, các nghiệm \({x_1},{x_2}\) của (E) thỏa mãn hệ thức \({x_1} = 3{x_2}\)? Tìm các nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong mỗi trường hợp đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right. \) \(=  > 4{x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\) \( \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{{2a}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right. \) \(=  > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 3.{\left( {\dfrac{{a + 1}}{{2a}}} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{3{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {\dfrac{3}{{4{a^2}}} - 1} \right) = 0\\
\Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {3 - 4{a^2}} \right) = 0
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Với a = - 1 ta có \({x_1} = {x_2} = 0\);

Với \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)ta có: \({x_2} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}\);

Với \(a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)ta có: \({x_2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{2}\);