Bài 8 trang 156 SGK Đại số 10

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\)

LG a

\(\displaystyle A = \sin ({\pi  \over 4} + x) - \cos ({\pi  \over 4} - x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\\
\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
A = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin x\cos \dfrac{\pi }{4} \\- \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{4}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
A = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]\\
= \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right)\\
= 0
\end{array}\)

LG b

 \(\displaystyle B = \cos ({\pi  \over 6} - x) - \sin ({\pi  \over 3} + x)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
B = \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \cos \dfrac{\pi }{6}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{6}\sin x\\
- \left( {\sin \dfrac{\pi }{3}\cos x + \cos \dfrac{\pi }{3}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \dfrac{1}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
B = \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)} \right] - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= 0
\end{array}\)

LG c

\(\displaystyle C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi  \over 3} - x)\cos({\pi  \over 3} + x)\)

Lời giải chi tiết:

LG d

 \(\displaystyle D = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l}
1 + \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha \\
1 - \cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
D = \dfrac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin 2x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}.\cot x\\
= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\\
= 1
\end{array}\)

Vậy biểu thức \( D\) không phụ thuộc vào \(x.\)