Bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12. Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:


Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

LG a

\(\displaystyle y =  - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\)

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a; \, b).\)

a) Nếu \(f'(x)> 0\) với mọi  \(a \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng đó.

b) Nếu \(f'(x)< 0\) với mọi  \(a \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng đó.

Lời giải chi tiết:

*Xét hàm số: \(\displaystyle y =  - {x^3} +2{x^2} - x - 7\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

Ta có: \(\displaystyle y' =  - 3{x^2} + 4x - 1 \Rightarrow y' = 0\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Hàm số đồng biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 4x - 1 > 0\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 < 0 \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1.
\end{array}\)

Hàm số đồng biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 4x - 1 < 0\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 > 0 \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy hàm số đồng biến trong \(\displaystyle ({1 \over 3},1)\) và nghịch biến trong \(\displaystyle ( - \infty ,{1 \over 3}) \) và \(\displaystyle (1, + \infty ).\)


LG b

\(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}}\)

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a; \, b).\)

a) Nếu \(f'(x)> 0\) với mọi  \(a \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng đó.

b) Nếu \(f'(x)< 0\) với mọi  \(a \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng đó.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số:  \(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}} = \dfrac{x-5}{-x+1}\)

Tập xác định: \(\displaystyle D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \)

Ta có: \(\displaystyle y' = \dfrac{1.1-5.1}{(1-x)^2}= {{ - 4} \over {{{(1 - x)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \(\displaystyle (-∞,1)\) và \(\displaystyle (1, +∞)\).

Bài giải tiếp theo
Bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Video liên quan



Bài học liên quan

Từ khóa