Bài 4.69 trang 123 SBT đại số 10

Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

LG a

\(({m^2} + m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m - 5 = 0;\)

Phương pháp giải:

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \({x_1},{x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta '} > 0\\ - \dfrac{b}{a}>0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \)

Lời giải chi tiết:

\({m^2} + m + 1 = {m^2} + 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} \)\(\,= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\,\,\forall m\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \({x_1},{x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr 
- {b \over a} >0\hfill \cr 
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right.  \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(2m - 3)^2} - 4(m - 5)({m^2} + m + 1) > 0 \hfill \cr 
{{ - (2m - 3)} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(1) \hfill \cr 
{{m - 5} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vì \({m^2} + m + 1 > 0\) nên bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow  - \left( {2m - 3} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow  - 2m >  - 3 \Leftrightarrow m < \dfrac{3}{2}\)

Bất phương trình (2) \( \Leftrightarrow m - 5 > 0 \Leftrightarrow m > 5\)

Do đó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

LG b

\({x^2} - 6mx + 2 - 2m + 9{m^2} = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr 
- {b \over a}>0 \hfill \cr 
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
9{m^2} - (2 - 2m + 9{m^2}) > 0 \hfill \cr 
{{6m} \over 1} > 0 \hfill \cr 
{{9{m^2} - 2m + 2} \over 1} > 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2m - 2 > 0 \hfill \cr 
m > 0 \hfill \cr 
9{m^2} - 2m + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 1 \hfill \cr 
\forall m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 1. \cr} \)

Vậy \(m > 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.