Câu hỏi 3 trang 152 SGK Đại số 10

Đề bài

Bằng cách đặt u = a – b, v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv thành tích.

Lời giải chi tiết

Ta đặt:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u = a - b\\
v = a + b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + v = 2a\\
u - v = - 2b
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{u + v}}{2}\\
b = \dfrac{{v - u}}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \cos u + \cos v = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\\
= \cos a\cos b + \sin a\sin b\\
+ \cos a\cos b - \sin a\sin b\\
= 2\cos a\cos b\\
= 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\
= 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\
= 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\
\Rightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\
\sin u + \sin v = \sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)\\
= \sin a\cos b - \sin b\cos a\\
+ \sin a\cos b + \sin b\cos a\\
= 2\sin a\cos b\\
= 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\ 
= 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\
= 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\)