Bài 3 trang 154 SGK Đại số 10

Rút gọn các biểu thức

LG a

\(\sin(a + b) + \sin(\dfrac{\pi}{2}- a)\sin(-b)\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)

Lời giải chi tiết:

\(\, \sin(a + b) + \sin( \dfrac{\pi }{2} - a)\sin(-b) \) \( = \sin a\cos b + \cos a\sin b + \cos a.\left( { - \sin b} \right)\) \(= \sin a\cos b + \cos a\sin b - \cos a\sin b\) \(= \sin a\cos b.\)

LG b

\(\cos(\dfrac{\pi }{4} + a)\cos( \dfrac{\pi}{4} - a) +  \dfrac{1 }{2} \sin^2a\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\) và công thức hạ bậc \({\sin ^2}a = \dfrac{{1 - \cos 2a}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\cos( \dfrac{\pi }{4} + a)\cos(\dfrac{\pi }{4}- a) + \dfrac{1 }{2}\sin^2a\)

\( =\dfrac{1 }{2}\cos\left [ \dfrac{\pi }{4}+a+\dfrac{\pi}{4} -a\right ]\) \(+\dfrac{1}{2}\cos\left [ \left ( \dfrac{\pi }{4} +a\right ) -\left ( \dfrac{\pi}{4}-a \right )\right ]\)\(+\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1-\cos 2a}{2} \right )\)

\( =\dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2a +  \dfrac{1}{4}(1 - \cos 2a)\) \(=\dfrac{1}{2}\cos 2a +  \dfrac{1}{4}(1 - \cos 2a)\) \( = \dfrac{{2\cos 2a + 1 - \cos 2a}}{4} \) \(= \dfrac{{1 + \cos 2a}}{4} = \dfrac{{2{{\cos }^2}a}}{4}\) \( = \dfrac{{{{\cos }^2}a}}{2}\)

LG c

\(\cos( \dfrac{\pi}{2} - a)\sin( \dfrac{\pi}{2} - b) - \sin(a - b)\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

\(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \) và \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha ,\) \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Lời giải chi tiết:

\( \cos( \dfrac{\pi}{2} - a)\sin( \dfrac{\pi}{2} - b) - \sin(a - b) \)

\( = \sin a\cos b - \left( {\sin a\cos b - \cos a\sin b} \right)\)

\(= \sin a\cos b - \sin a\cos b + \sin b\cos a\)

\(= \sin b\cos a.\)