Bài 4 trang 154 SGK Đại số 10

Chứng minh các đẳng thức

LG a

\( \dfrac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\dfrac{\cot a \cot b+1}{\cot a \cot b-1}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức \(\cos (a+b)\) với VT sau đsó chia cả tử và mẫu cho \(\sin a \sin b\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} + \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} - \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}\\
= \dfrac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}} 
\end{array}\)

LG b

\(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a – \sin^2b \)\(= \cos^2b – \cos^2a\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\)

+) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)

Lời giải chi tiết:

\(VT = (\sin a\cos b + \cos a\sin b).\)\((\sin a\cos b - \cos a\sin a) \) \( = (\sin a\cos b)^2– (\cos a\sin b)^2 \) \( = {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)\( = \sin^2 a(1 – \sin^2 b) – (1 – \sin^2 a)\sin^2 b\) \( = {\sin ^2}a - {\sin ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\sin ^2}a{\sin ^2}b\) \(= \sin^2a – \sin^2b \, \, (đpcm) \)

Lại có:

\( {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)

\( = ( 1– \cos^2a)\cos^2b  – \cos^2 a(1 – \cos^2 b) \) \(= {\cos ^2}b - {\cos ^2}b{\cos ^2}a - {\cos ^2}a + {\cos ^2}a{\cos ^2}b\)

\( =  \cos^2 b – \cos^2 a \, \, (đpcm). \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\\
= - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) - \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\
= - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a - \cos 2b} \right)\\
= - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {1 - 2{{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - 2{{\sin }^2}b} \right)} \right]\\
= - \dfrac{1}{2}\left( { - 2{{\sin }^2}a + 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right)
\end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= - {\cos ^2}a + {\cos ^2}b
\end{array}\)

suy ra đpcm.

LG c

\(\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b\)\( = \cos^2b – \sin^2a\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)

Lời giải chi tiết:

\(VT = (\cos a\cos b - \sin a\sin b).(\cos a\cos b + \sin a\sin b) \) \( = (\cos a\cos b)^2 – (\sin a\sin b)^2\)

\(\begin{array}{l}
= {\cos ^2}a{\cos ^2}b - {\sin ^2}a{\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right){\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a - {\cos ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\cos ^2}{\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right)\\
= \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= - {\sin ^2}a + {\cos ^2}b\\
= {\cos ^2}b - {\sin ^2}a
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) + \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\
= \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 1 - 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= {\cos ^2}b - {\sin ^2}a
\end{array}\)