Câu 2.80 trang 83 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số


Đề bài

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y =  - {\log _a}\left( { - x} \right)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = -x\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(\left( {{G_1}} \right)\) và \(\left( {{G_2}} \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y =  - {\log _a}\left( { - x} \right)\).

\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua đường thẳng \(y =  - x\) là \(M'\left( { - {y_0};{-x_0}} \right)\). Ta có

\(M \in \left( {{G_1}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = {a^{{x_0}}} \Leftrightarrow {x_0} = {\log _a}{y_0} \)

\(\Leftrightarrow  - {x_0} =  - \log \left[ { - \left( { - {y_0}} \right)} \right] \Leftrightarrow M' \in \left( {{G_2}} \right)\)

Điều đó chứng tỏ \(\left( {{G_1}} \right)\) và \(\left( {{G_2}} \right)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y =  - x\).



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến