Bài 4 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không đúng ?

(A) \({(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \);

(B) \({(\sin \alpha  - \cos \alpha )^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \);

(C) \({\cos ^4}\alpha  - {\sin ^4}\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \);

(D) \({\cos ^4}\alpha  + {\sin ^4}\alpha  = 1\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2}\\
= {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \\
= \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) + 2\sin \alpha \cos \alpha \\
= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha
\end{array}\)

nên A đúng.

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2}\\
= {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \\
= \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) - 2\sin \alpha \cos \alpha \\
= 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha 
\end{array}\)

nên B đúng.

\(\begin{array}{l}
{\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha \\
= \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)\\
= \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right).1\\
= {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

nên C đúng.

\({\cos ^4}\alpha  + {\sin ^4}\alpha \)

\(= {({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha  \)

\(= 1 - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha. \)

nên D sai.

Chọn (D).