Lý thuyết cực trị của hàm số

Tóm tắt kiến thức.

1. Định nghĩa 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x₀ ∈ (a ; b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x \(\neq\) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x \(\neq\) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \(\setminus\){ x₀ }.

Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x₀ là điểm cực đại của hàm số

Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số 

3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0).

- Nếu f '(x₀) = 0, f ''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f.

- Nếu f '(x₀) = 0, f ''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f.

4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

- Tìm tập xác định.

- Tính f '(x). Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

- Tìm tập xác định.

- Tính f '(x). Tìm các nghiệm \(x_{i}\) của phương trình f '(x)=0.

- Tính f ''(x) và f ''(\(x_{i}\)) suy ra tính chất cực trị của các điểm \(x_{i}\).

(Chú ý: nếu f ''(\(x_{i}\))=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại \(x_{i}\)).