Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số

\(y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\)

đều là những số dương và \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\), \(y'' = 10{a^2}x + 4a\).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại \({x_0} =  - \dfrac{5}{9}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a =  - \dfrac{9}{5}\\a < 0,a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a =  - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\)

Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\) có \(\Delta ' = 49{a^2} > 0\) với \(a \ne 0\) nên phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt\({x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} =  - \dfrac{9}{{5a}}\).

Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \( \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\).

Với \(a = \dfrac{{81}}{{25}}\) thì \({x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} =  - \dfrac{5}{9}\).

Do đó \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2} - 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0\)\( \Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}\)

Với \(a =  - \dfrac{9}{5}\) thì \({x_1} =  - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1\).

Do đó \({y_{CT}} = y\left( 1 \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( { - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{.1^3} + 2.\left( { - \dfrac{9}{5}} \right){.1^2} - 9.1 + b > 0\) \( \Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}\).

Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).