Bài 2.89 trang 136 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle  \frac{{{2^x}}}{2} < {2^{\sqrt {7 - x} }}\)

A. \(\displaystyle  x < 3\)                        B. \(\displaystyle  x \ge 1\)

C. \(\displaystyle  1 \le x < 3\)                D. \(\displaystyle  x < 1\)

Lời giải chi tiết

ĐK: \(\displaystyle  7 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 7\).

Khi đó \(\displaystyle  \frac{{{2^x}}}{2} < {2^{\sqrt {7 - x} }}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow {2^{x - 1}} < {2^{\sqrt {7 - x} }}\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow x - 1 < \sqrt {7 - x} \) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} < 7 - x\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x - 6 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\ - 2 < x < 3\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\1 \le x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 3\).

Chọn A.