Bài 2.71 trang 134 SBT giải tích 12

Đề bài

Giải các bất phương trình logarit sau:

a) \(\displaystyle \frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0\)

b) \(\displaystyle \log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0\)

c) \(\displaystyle \log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)\)

d) \(\displaystyle \ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\)

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(\displaystyle t = \ln x\left( {t \ne 1} \right)\) ta được: \(\displaystyle \frac{{t + 2}}{{t - 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 2 < t < 1\).

Suy ra \(\displaystyle  - 2 < \ln x < 1 \Leftrightarrow {e^{ - 2}} < x < e\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle \frac{1}{{{e^2}}} < x < e\).

b) Đặt \(\displaystyle t = {\log _{0,2}}x\) ta được: \(\displaystyle {t^2} - t - 6 \le 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow  - 2 \le t \le 3\)

Suy ra \(\displaystyle  - 2 \le {\log _{0,2}}x \le 3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 0,{2^3} \le x \le 0,{2^{ - 2}}\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{1}{{125}} \le x \le 25\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle \frac{1}{{125}} \le x \le 25\).

c) ĐK: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 > 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 1\end{array} \right.\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < x < 3\\x <  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\displaystyle \log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < {\left( {3 - x} \right)^2}\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 5x - 11 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{11}}{5}\)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}2 < x < \frac{{11}}{5}\\x <  - 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm là  \(\displaystyle \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2;\frac{{11}}{5}} \right)\).

d) ĐK: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| > 0\\\left| {x + 4} \right| > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  - 4\end{array} \right.\).

Khi đó bpt \(\displaystyle  \Leftrightarrow \ln \left| {(x - 2)(x + 4)} \right| \le \ln 8\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left| {{x^2} + 2x - 8} \right| \le 8\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow  - 8 \le {x^2} + 2x - 8 \le 8\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x \ge 0\\{x^2} + 2x - 16 \le 0\end{array} \right.\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le  - 2\\x \ge 0\end{array} \right.\\ - 1 - \sqrt {17}  \le x \le  - 1 + \sqrt {17} \end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 - \sqrt {17}  \le x \le  - 2\\0 \le x \le  - 1 + \sqrt {17} \end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm là \(\displaystyle \left[ { - 1 - \sqrt {17} ; - 2} \right] \cup \left[ {0; - 1 + \sqrt {17} } \right]\).