Bài 2.68 trang 133 SBT giải tích 12

Giải các phương trình sau:

LG a

\(\displaystyle \ln (4x + 2) - \ln (x - 1) = \ln x\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}m \Leftrightarrow f\left( x \right) = m\).

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4x + 2 > 0\\x - 1 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \frac{1}{2}\\x > 1\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).

Khi đó \(\displaystyle \ln (4x + 2) - \ln (x - 1) = \ln x\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \ln (4x + 2) = \ln [x(x - 1){\rm{]}}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow 4x + 2 = {x^2} - x\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 2 = 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}\\x = \frac{{5 - \sqrt {33} }}{2}(l)\end{array} \right.\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\displaystyle x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}\).

LG b

\(\displaystyle {\log _2}(3x + 1){\log _3}x = 2{\log _2}(3x + 1)\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng tích và áp dụng cách giải phương trình logarit cơ bản.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \frac{1}{3}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).

Khi đó:

\(\displaystyle {\log _2}(3x + 1){\log _3}x = 2{\log _2}(3x + 1)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _2}(3x + 1){\rm{[}}{\log _3}x - 2] = 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}(3x + 1) = 0\\{\log _3}x - 2 = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 1 = 1\\{\log _3}x = 2\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(l)\\x = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 9\).

LG c

\(\displaystyle {2^{{{\log }_3}{x^2}}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình mũ và logarit cơ bản đã biết cách giải.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\displaystyle x > 0\). Khi đó,

\(\displaystyle {2^{{{\log }_3}{x^2}}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow {4^{{{\log }_3}x}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {20^{{{\log }_3}x}} = {20^2}\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9\) (TM)

LG d

\(\displaystyle {\ln ^3}x - 3{\ln ^2}x - 4\ln x + 12 = 0\)

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = \ln x\), giải phương trình ẩn \(\displaystyle t\) và suy ra nghiệm của phương trình ẩn \(\displaystyle x\).

Giải chi tiết:

ĐK: \(\displaystyle x > 0\).

Đặt \(\displaystyle t = \ln x\), ta có phương trình:

\(\displaystyle {t^3} - 3{t^2} - 4t + 12 = 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)\left( {t - 3} \right) = 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 2\\t = 3\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 2\\\ln x =  - 2\\\ln x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^2}\\x = {e^{ - 2}}\\x = {e^3}\end{array} \right.\)