Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Chương III - Giải tích 12

Đề bài

 Câu 1. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A. \(\int {[f(x) + g(x)]dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } } \) với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.

B. \(\int {[f(x) - g(x)]dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } } \) với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.

C. \(\int {[kf(x)]dx = k\int {f(x)dx} } \) với mọi hằng số k và hàm f(x) liên tục trên R.

D. \(\int {[f'(x)]dx = f(x) + C} \) với mọi f(x) có đạo hàm trên R.

Câu 2. Nếu t=u(x) thì:

A. \(dt = u'(x)dx\)                   

B. \(dx = u'(x)dt\)

C. \(dt = \dfrac{1}{{u(x)}}dx\)            

D. \(dx = \dfrac{1}{{u(t)}}dt\).

Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Chọn mệnh đề sai ?

A. \(\int\limits_a^b {f(x)} dx =  - \int\limits_b^a {f(x)} dx\)

B. \(\int\limits_a^b {kdx}  = k(b - a)\)

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx}  + \int\limits_b^c f(x)\,dx = \int\limits_a^c f(x)\,dx\)\(,\,c \in [a;b]  \)

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f( - x)\,dx} } \).

Câu 4. Biết \(\int\limits_0^5 {f(x)\,dx = 1\,,\,\,\int\limits_5^0 {g(t)\,dt = 2} } \). Giá trị của \(\int\limits_0^5 {[f(x) + g(x)]\,dx} \) là:

A. Không xác định được        

B. 1

C. 3                       

D. – 1 .

Câu 5. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^e {\dfrac{{dx}}{{3x + 1}}} \).

A. \(I = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {3e + 1} \right)}^2}}} - 1} \right)\)          

B. \(I = \dfrac{1}{{{{\left( {3e + 1} \right)}^2}}} - 1\).

C. \(I = \ln \left( {3e + 1} \right)\)       

D. \(I = \dfrac{1}{3}\ln \left( {3e + 1} \right)\).

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin 2x\) là:

A. \(\cos 2x + C\).             

B. \( - \cos 2x + C\).

C. \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).    

D. \( - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).

Câu 7.Tính \(\int {2x\ln (x - 1)\,dx} \) bằng:

A.\(\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

B. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

C. \({x^2}\ln (x - 1) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

D. \(\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + C\).

Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng y = - x là:

A. \(\dfrac{9}{2}\)                         B. \(\dfrac{9}{4}\)      

C. 3                           D. \(\dfrac{7}{2}\).

Câu 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{5x - 2}}\).

A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = 5\ln |5x - 2| + C} \).          

B. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} =  - \dfrac{1}{2}\ln |5x - 2| + C} \).

C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = \ln |5x - 2| + C} \).       

D. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = \dfrac{1}{5}\ln |5x - 2| + C} \).

Câu 10. Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục tung và hai đường thẳng y = a, y = a, y = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy là:

A. \(V = \pi \int\limits_a^b {|f(y)|\,dy} \).               

B. \(V = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

C. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}(x)\,dx} \).                

D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)\,} dy\)

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Mệnh đề sai: \(\int {[kf(x)]dx = k\int {f(x)dx} } \) với mọi hằng số k và hàm \(f\left( x \right)\)liên tục trên R.

Chọn đáp án C.

Câu 2.

Ta có: \(t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\)

Chọn đáp án A.

Câu 3.

Hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì:

+ \(\int\limits_a^b {f(x)} dx =  - \int\limits_b^a {f(x)} dx\) 

+ \(\int\limits_a^b {kdx}  = k(b - a)\)

+ \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx}  + \int\limits_b^c {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx\,\,,c \in [a;b]} } \)

Chọn đáp án D.

Câu 4.

Ta có: \(\int\limits_0^5 {f(x)\,dx = 1\,,\,\,\int\limits_5^0 {g(t)\,dt = 2} }\)

\(  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^5 {f\left( x \right)\,dx = 1} \\\int\limits_5^0 {g(t)\,dt = 2}  \Rightarrow \int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx}  =  - 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\int\limits_0^5 {[f(x) + g(x)]\,dx}  \)\(\,= \int\limits_0^5 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_0^5 {g\left( x \right)} \,dx \)\(\,= 1 - 2 =  - 1.\)

Chọn đáp án D.

Câu 5.

Ta có:

\(I = \int\limits_0^e {\dfrac{{dx}}{{3x + 1}}}  = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^e {\dfrac{{d\left( {3x + 1} \right)}}{{3x + 1}}} \)

\(\;\;\;= \dfrac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|\left| \begin{array}{l}^e\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left( {3e + 1} \right)} \right)\)

Chọn đáp án D.

Câu 6.

Ta có: \(\int {\sin 2x} \,dx = \dfrac{1}{2}\int {\sin 2x\,d\left( {2x} \right)} \)\(\, =  - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\)

Chọn đáp án D.

Câu 7.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x - 1} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x - 1}}dx\\v = {x^2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\int {2x\ln (x - 1)\,dx}  \)

\(= \left[ {\ln \left( {x - 1} \right).{x^2}} \right] - \int {\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \,dx \)

\(= \left[ {\ln \left( {x - 1} \right).{x^2}} \right] - \int {\left( {x + 1 + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\,dx} \)

\( = \left[ {{x^2}\ln \left( {x - 1} \right)} \right] - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| {x - 1} \right|} \right) + C\)

\( = \left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 8.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng:

\(2 - {x^2} =  - x \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2 + x - {x^2}} \right|} \,dx \)\(\,= \left| {2x + \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_{ - 1}\end{array} \right. \)\(\,= \left| {\dfrac{{10}}{3} + \dfrac{7}{6}} \right| = \dfrac{9}{2}.\)

Chọn đáp án A.

Câu 9.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{5x - 2}}} \,dx = \dfrac{1}{5}\int {\dfrac{{d\left( {5x - 2} \right)}}{{5x - 2}}}  \)\(\,= \dfrac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} \right| + C\)

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Oy là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)\,} dy\)

Chọn đáp án D