Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)  nếu:

A. F’(x) = f’’(x)                  

B. F’(x) = f’(x)

C. F’(x) = f(x)     

D. f’(x) = F(x).

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng:

A. \(\int {{a^x}\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)} \).     

B. \(\int {{a^x}\,dx}  = {a^x} + C\,\,\,(0 < a \ne 1)\).

C. \(\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a}  + C\,\,(0 < a \ne 1)\).  

D. \(\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a\,\,(0 < a \ne 1)} \).

Câu 3. Cho \(C \in R\). Tính \(I = \int {\left( {{x^2} + 3} \right){x^2}\,dx} \):

A. \(I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} + C\)         

B. \(I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3}\)

C.  \(I = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)\dfrac{{{x^3}}}{3} + C\)     

D. \(I = {x^4} + 3{x^2} + C\).

Câu 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}}\) biết F(1)=0.

A. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}\).                        

B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2}\).                   

D. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}\)

Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y = {x^2} + 1\), đường thẳng \(y = 3 - x\).

A. \(\dfrac{8}{3}\)                            B. \(\dfrac{7}{3}\)      

C. \(\dfrac{9}{2}\)                            D. \(\dfrac{{10}}{3}\)

Câu 6. Tính \(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx} \). Chọn kết quả đúng .

A. \(F(x) = 3(x - 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).   

B. \(F(x) = (x + 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).

C. \(F(x) = \dfrac{{x - 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).    

D. \(F(x) = \dfrac{{x + 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).

Câu 7. Tính tích phân  \(\int\limits_0^3 {x(x - 1)\,dx} \) có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?

A.\(\int\limits_0^\pi  {\cos (3x + \pi )\,dx} \).    

B. \(3\int\limits_0^{3x} {\sin x\,dx} \)

C. \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + x - 3} \right)} \,dx\).

D. \(\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,dx\).

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\), trục hoành, các đường thẳng \(x =  - 2,\,x = 1\) bằng :

A. \(\left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx} } \right|\).    

B. \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx} \).

C. \(\int\limits_{ - 1}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \).  

D. \(\int\limits_{ - 2}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \).

Câu 9. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = 3\sin x + \dfrac{2}{x}\).

A. \(F(x) =  - 3\cos x + 2\ln |x| + C\).

 B. \(F(x) = 3\cos x + 2\ln |x| + C\).

C. \(F(x) =  - 3\cos x - 2\ln |x| + C\).  

D. \(F(x) = 3\cos x - 2\ln |x| + C\).

Câu 10. Cho hình (H) gới hạn bởi hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:

A. \(V = \pi \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).    

B. \(V = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} \,dx\).  

D. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}(x)\,dx} \).

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Hàm số \(F\left( x \right)\)được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)nếu: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)

Chọn đáp án C.

Câu 2.

Mệnh đề đúng: \(\int {{a^x}\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)} \)

Chọn đáp án A.

Câu 3.

Ta có: \(I = \int {\left( {{x^2} + 3} \right){x^2}\,dx}\)\(\,  = \int {\left( {{x^4} + 3{x^2}} \right)} \,dx = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 4.

Ta có: \(f(x) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}} \)

\(\Rightarrow \int {\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + C\)

Theo giả thiết: \(F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{2} + 1 + C = 0\)

\(\Leftrightarrow C =  - \dfrac{3}{2}.\)

Khi đó \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}\)

Chọn đáp án D.

Câu 5.

Phương trình hoành độ giao điểm là: \({x^2} + 1 = 3 - x \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức:

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} \,dx \)\(\,= \left| {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right|\left| \begin{array}{l}^1\\_{ - 2}\end{array} \right.\)\(\, = \left| { - \dfrac{7}{6} - \dfrac{{10}}{3}} \right| = \dfrac{9}{2}.\)

Chọn đáp án C.

Câu 6.

Ta có: \(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx}  = 3\int {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{\dfrac{x}{3}}}d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^{\dfrac{x}{3}}}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx}  \)\(\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 3\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} dx \)\(\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\)\(\, = 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 7.

Ta có: \(\int\limits_0^3 {x(x - 1)\,dx}  = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_0\end{array} \right. = \dfrac{9}{2}\)

+) \(\int\limits_0^\pi  {\cos (3x + \pi )\,dx}  \)\(\,= \dfrac{1}{3}\int\limits_0^\pi  {\cos \left( {3x + \pi } \right)} \,d\left( {3x + \pi } \right)\)\(\, = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + \pi } \right)\left| \begin{array}{l}^\pi \\_0\end{array} \right. = 0\)

+) \(3\int\limits_0^{3x} {\sin x\,dx}  = 3\left( { - \cos x} \right)\left| \begin{array}{l}^{3x}\\_x\end{array} \right.\)

+) \(\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,d\left( {2x} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\left| \begin{array}{l}^{\ln \sqrt {10} }\\_0\end{array} \right. = 5 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\)

Chọn đáp án D.

Câu 8.

Diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức sau: \(\int\limits_{ - 2}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \)

Chọn đáp án D.

Câu 9.

Ta có: \(f(x) = 3\sin x + \dfrac{2}{x}\)

\(\Rightarrow \int {\left( {3\sin x + \dfrac{2}{x}} \right)\,dx}\)\(\,  =  - 3\cos x + 2\ln \left| x \right| + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 10.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Ox là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} \,dx\)

Chọn đáp án C