Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng :

A. \(\int {0dx = C} \)      

B. \(\int {dx = C} \)

C. \(\int {dx}  = 0\)           

D. \(\int {0dx = x + C} \).

Câu 2. Chọn mệnh đề sai :

A. \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \).   

B. \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \cot x + C} \).

C. \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx =  - \cot x + C} \). 

D \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + C\)

Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A. \(\int\limits_{ - 1}^1 {dx = 1} \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx.\int\limits_a^b {g(x)\,dx = \int\limits_a^b {f(x).g(x)\,dx} } } \).

C. Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx \ge 0} \).

D. Nếu \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = 0} \) với \(a \ne b\) thì \(f(x) = 0\).

Câu 4. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos (a - x)\,dx} \):

A. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a + \sin a\).    

B. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\).

C. \(I = \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\cos a + \sin a\).  

D. \(I = \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)\cos a - \sin a\).

Câu 5. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\int {{e^x}\,dx}  = {e^x} + C\)        

B. \(\int {\sin x\,dx =  - \cos x + C} \)

C. \(\int {\dfrac{1}{{{x^2}\,}}\,dx}  =  - \dfrac{1}{x} + C\,\,\,(x \ne 0)\)   

D. \(\int {{a^x}\,dx}  = {a^x} + C\).

Câu 6. Tính \(I = \int {{e^{3 - 5x}}\,dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{5}{e^{3 - 5x}} + C\).   

B. \(I =  - \dfrac{1}{5}{e^{3 - 5x}} + C\).

C. \(I = {e^{3 - 5x}} + C\).     

D. \(I =   \dfrac{1}{5}{e^{3 - 5x}} + C\).

Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 3 , x = 4 là:

A. \(\dfrac{{202}}{3}\)                    B. \(\dfrac{{203}}{4}\)    

C. \(\dfrac{{201}}{5}\)                     D. \(\dfrac{{201}}{4}\).

Câu 8. Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\,dx}  = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{a + 1}}\ln 2\). Tính a.

A. a = 2                      B. a = -2  

C. a = 1                      D. a = 0.

Câu 9. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx+ cosx là:

A. six2x + C .                    

B. –cosx – sinx + C

C. cosx + sinx + C.                

D. sinx – cosx + C.

Câu 10. Tìm \(I = \int {\dfrac{1}{{4 - {x^2}}}\,dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right|\)   

B. \(I = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right|\).

C. \(I = \dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right|\).      

D. \(I = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right|\)

Lời giải chi tiết

 Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Mệnh đề đúng là \(\int {0dx = C} \)

Chọn đáp án A.

Câu 2.

Ta có:

Mệnh đề B sai.

Chọn đáp án B.

Câu 3.

+ \(\int\limits_{ - 1}^1 {dx = x\left| {_{ - 1}^1} \right.}  = 1 - \left( { - 1} \right) = 2.\)

+ Nếu \(f\left( x \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)thì .

+ Nếu  với  thì .

Chọn đáp án B.

Câu 4.

Ta có:

\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos (a - x)\,dx}  \)\(\,=  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\,d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)}\)\(\,  =  - \left( {x\sin \left( {a - x} \right)} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin \left( {a - x} \right)\,dx} \)

\( = \dfrac{\pi }{2}\cos a + \cos \left( {a - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. \)

\(= \dfrac{\pi }{2}\cos a + \sin a - \cos a\)

Chọn đáp án C.

Câu 5.

Ta có các khẳng định đúng:

\(\begin{array}{l} + \,\,\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \\ + \,\,\int {\sin xdx =  - \cos x + C} \\ + \,\,\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx =  - \frac{1}{x} + C\,\,\,\left( {x \ne 0} \right)} \end{array}\)

Chọn đáp án D.

Câu 6.

Ta có: \(I = \int {{e^{3 - 5x}}\,dx}  \)\(\,=  - \dfrac{1}{5}\int {{e^{3 - 5x}}\,d\left( {3 - 5x} \right)} \)\(\, =  - \dfrac{1}{5}{e^{3 - 5x}} + C\)

Chọn đáp án B

Câu 7.

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2}} \right|\,\left| \begin{array}{l}^4\\_{ - 3}\end{array} \right. \)\(\,= \left| {32 - \dfrac{9}{4}} \right| = \dfrac{{119}}{4}\)

Câu 8.

Ta có:

\(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\,dx}  \)

\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 1 - 1}}{{{x^2} + 1}}} \,d\left( {{x^2} + 1} \right) \)

\(= \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)\,d\left( {{x^2} + 1} \right)} \)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 1 - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\)

\(= \dfrac{1}{2}\left( {2 - \ln 2 - 1} \right)\)

\(= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln 2.\)

Khi đó \(a = 1\)

Chọn đáp án C.

Câu 9.

Ta có: \(\int {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \,dx \)\(\,= \left( { - \cos x + \sin x} \right) + C\)

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Ta có:

\(I = \int {\dfrac{1}{{4 - {x^2}}}\,dx}  \)

\(\;\;\;= \int {\dfrac{1}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\,dx}  \)

\(\;\;\;= \dfrac{1}{4}\int {\left( {\dfrac{1}{{2 - x}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right)} \,dx\)

\(\;\;\; =  - \dfrac{1}{4}\ln \left| {2 - x} \right| + \dfrac{1}{4}\ln \left| {2 + x} \right| + C\)

\(\;\;\; = \dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}}} \right| + C\)

Chọn đáp án C