Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Chọn mệnh đề sai:

A. \(\int {f'(x)dx = f(x) + C} \) 

B.\(\int {f''(x)dx = f'(x) + C} \)

C. \(\int {f'''(x)dx = f''(x) + C} \)   

D. \(\int {f(x)dx = f'(x) + C} \)

Câu 2. Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{x + 2}}\). Hãy chọn mệnh đề sai:

A. \(\int {\dfrac{1}{{x + 2}}dx = \ln (x + 2) + C} \).

B. \(y = \ln (3|x + 2|)\) là một nguyên hàm của f(x).

C. \(y = \ln |x + 2| + C\) là họ nguyên hàm của f(x).

D. \(y = \ln |x + 2|\) là một nguyên hàm của f(x).

Câu 3. Nếu \(t = {x^2}\) thì:

A. \(xf({x^2})dx = f(t)dt\)           

B. \(xf({x^2})dx = \dfrac{1}{2}f(t)dt\)

C. \(xf({x^2})dx = 2f(t)dt\)     

D. \(xf({x^2})dx = {f^2}(t)dt\)

Câu 4. Giả sử \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln K} \). Giá trị của K là:

A. 9                                B. 3      

C. 81                              D. 8

Câu 5. Tính \(I = \int {\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,dx} \) ta được kết quả nào dưới đây:

A. \(I =  - \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).   

B. \(I = 2\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).

C. \(I =  - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).   

D. \(I = \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).

Câu 6. Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a) + C} \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b)} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \).     

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b) + C} \).

Câu 7. Tính thể tích vật thể kh quay quanh hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, y = 0, x = 0, \(x = \pi \) quanh trục hoành.

A. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\)                      B. \(\dfrac{\pi }{4}\)       

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\)                       D.\(\dfrac{\pi }{2}\).

Câu 8. Cho \(\int\limits_{ - 2}^1 {f(x)\,dx = 1\,,\,\,\int\limits_{ - 2}^1 {g(x)\,dx =  - 2} } \). Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx\).

A. 24                        B. -7    

C. – 4                        D. 8.

Câu 9. Tìm \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} - 3x + 2}}} \).

A. \(\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + C} \right|\).       

B. \(\ln \left| {\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}} \right| + C\).

C. \(\ln \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) + C\).  

D. \(\ln \dfrac{1}{{x - 2}} + \ln \dfrac{1}{{x - 1}} + C\).

Câu 10. Công thức tính diện tích hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), đường thẳng y = 0 và hai đường thẳng x = a,  x = b (a<b) là:

A. \(S = \int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).  

B. \(S = \int\limits_0^b {f(x)\,dx} \).

C. \(S = \int\limits_b^a {|f(x)|\,dx} \).

D. \(S = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

Lời giải chi tiết

 Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Mệnh đề sai là: \(\int {f(x)dx = f'(x) + C} \)

Chọn đáp án D.

Câu 2.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C} \)

Chọn đáp án A.

Câu 3.

Ta có: \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Leftrightarrow dx = \dfrac{{dt}}{2}.\)

Khi đó \(xf({x^2})dx = \dfrac{1}{2}f(t)dt\)

Chọn đáp án B.

Câu 4.

Ta có: \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^5 {\dfrac{{d\left( {2x - 1} \right)}}{{2x - 1}}} }  \)\(\,= \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|\left| \begin{array}{l}^5\\_1\end{array} \right. = \dfrac{1}{2}\left( {\ln 9} \right) = \ln 3\)

Chọn đáp án B.

Câu 5.

Ta có: \(I = \int {\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,dx} \)\(\, = \dfrac{1}{2}\int {\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,d\left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \)\(\, =  - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 6.

\(f\left( x \right)\)là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Giả sử \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), khi đó ta có: \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \)

Chọn đáp án C.

Câu 7.

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2}\)

Khi đó thể tích khối tròn xoay được xác định:

\(V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\,dx}  + \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^\pi  {{{\sin }^2}x\,dx}  \)

\(\;\;\;= \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx} \)

\(\;\;\;= \pi \left( {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{{\sin 2x}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}^\pi \\_0\end{array} \right.\)

\( \;\;\;= \pi \left( {\dfrac{1}{2}\pi  - 0} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\)

Chọn đáp án C.

Câu 8.

Ta có:\(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx\)\(\, = x\left| {_{ - 2}^1} \right. - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,dx + 3\int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)} \,dx \)\(\,= 3 - 1 - 3.2 =  - 4\)

Chọn đáp án C.

Câu 9.

Ta có:

\(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} - 3x + 2}}}  = \int {\dfrac{{dx}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}}  \)

\(\,= \int {\left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)dx}  \)

\(\,= \ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x - 1} \right| + C\)

\( = \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right| + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 10.

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức: \(S = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \)

Chọn đáp án D