Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho f(x) là đạo hàm của hàm số F(x). Chọn mệnh đề đúng :

A. f’(x) = F(x)           

B. \(\int {f(x)dx = F(x) + C} \)

C. \(\int {F(x)dx = f(x) + C} \)      

D. f’(x) = F’(x).

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng :

A. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x - \cot x + C} \)

B. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx =  - \tan x + \cot x + C} \).

C. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x + \cot x + C} \).

D. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx =  - \tan x - \cot x + C} \).

Câu 3. Nếu u(t) = v(t) thì:

A. \(dt = \dfrac{{v(x)}}{{u(t)}}dx\)               

B. \(dt = \dfrac{{v'(x)}}{{u'(t)}}dx\)

C. \(dx = \dfrac{{v(x)}}{{u(t)}}dt\)           

D. \(dx = \dfrac{{v'(x)}}{{u'(t)}}dt\).

Câu 4. Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} } \,dx\,\,,u = {x^2} - 1\). Khẳng định sai là:

A. \(I = \int\limits_0^3 {\sqrt u du} \)   

B. \(I = \dfrac{2}{3}\sqrt {27} \)

C. \(I = \int\limits_1^2 {\sqrt u \,du} \)                  

D. \(I = \dfrac{2}{3}{u^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.\).

Câu 5. Trong các khẳng định say đây, khẳng định nào  đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {v.du = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {u.dv} } \).            

B. \(\int\limits_a^b {u.dv = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. + \int\limits_a^b {v.du} } \).

C. \(\int\limits_a^b {u.dv = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {v.du} } \).       

D. \(\int\limits_a^b {u.dv = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {u.dv} } \)

Câu 6. Tích phân \(\int\limits_{\dfrac{{ - 1}}{2}}^1 {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,dx} \) bằng:

A. 1 – ln2                     B. \( - \dfrac{1}{2}\ln 2\).

C. \(\dfrac{1}{2}\ln 2\).                     D. \(3 - 2\ln 2\).

Câu 7. Nếu \(\int\limits_{ - 2}^0 {(5 - {e^{ - x}})\,dx = K - {e^2}} \) thì giá trị của K là:

A. 11                        B. 9       

C. 7                          D. 12,5.

Câu 8. Xét hàm số f(x) có \(\int {f(x)dx = F(x) + C} \). Với a, b là các số thực và \(a \ne 0\), khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A.\(\int {f(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \)   

B. \(\int {f(ax + b)\,dx = aF(ax + b) + C} \).

C. \(\int {f(ax + b)\,dx = F(ax + b) + C} \). 

D. \(\int {f(ax + b)\,dx = aF(a) + b + C} \).

Câu 9. Công thức nào sau đây sai ?

A. \(\int {\cos x\,dx = \sin x + C} \).     

B. \(\int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\,dx = \dfrac{{ - 1}}{x} + C\,\,\,(x \ne 0)} \).

C. \(\int {{a^x}\,dx}  = {a^x} + C\).            

D. \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,dx = \tan x + C\,\,(C \ne 0)} \).

Câu 10. Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  (H) quanh trục Ox được  tính bởi:

A. \(V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^3}\,dx} \).       

B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^3}\,dx} \).

C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{6\,}}\,dx} \).   

D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^5}\,dx} \)

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Cho \(f\left( x \right)\) là đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right)\) ta có: \(\int {f(x)dx = F(x) + C} \)

Chọn đáp án B.

Câu 2.

Ta có: \(\int \left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx \)\(\,= \tan x - \cot x + C \)

Chọn đáp án A.

Câu 3.

Ta có: \(u\left( t \right) = v\left( t \right) \Rightarrow u'\left( t \right)\,dt = v'\left( t \right)\,dt\)

Chọn đáp án B.

Câu 4.

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to u = 0\\x = 2 \to u = 3\end{array} \right.\)

Khi đó t có:

\(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} } \,dx\)

\(\;\;\;= \int\limits_1^2 {\sqrt {{x^2} - 1} \,d\left( {{x^2} - 1} \right)} \)

\(\;\;\;= \int\limits_0^3 {\sqrt u } \,du\)

Chọn đáp án A.

Câu 5.

Khẳng định đúng: \(\int\limits_a^b {u.dv = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {v.du} } \)

Chọn đáp án C.

Câu 6.

Ta có:

\(\int\limits_{\dfrac{{ - 1}}{2}}^1 {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,dx}\)

\(\;  = \int\limits_{ - \dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2\left( {x + 1} \right) - 1}}{{x + 1}}} \,dx \)

\(\;= \left( {2\left( {x + 1} \right) - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_{ - \dfrac{1}{2}}\end{array} \right. \)

\(\;= \left( {4 - \ln 2 - 1 + \ln \dfrac{1}{2}} \right) = 3 - 2\ln 2\)

Chọn đáp án D.

Câu 7.

Ta có: \(\int\limits_{ - 2}^0 {(5 - {e^{ - x}})\,dx = \left( {5x + {e^{ - x}}} \right)} \left| \begin{array}{l}^0\\_{ - 2}\end{array} \right. \)\(\,= 1 + 10 - {e^2} = 11 - {e^2}\)

\(\Rightarrow K = 11\)

Chọn đáp án A.

Câu 8.

Xét hàm số \(f\left( x \right)\)có \(\int {f(x)dx = F(x) + C} \), ta có: \(\int {f(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \)

Chọn đáp án A.

Câu 9.

Công thức đúng là: \(\int {\cos x\,dx = \sin x + C} \), \(\int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\,dx = \dfrac{{ - 1}}{x} + C\,\,\,(x \ne 0)} \), \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,dx = \tan x + C\,\,(C \ne 0)} \)

Chọn đáp án C.

Câu 10.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\)quanh trục Ox được  tính bởi \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{6\,}}\,dx} \)

Chọn đáp án C.