Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đề số 7 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1. Giải phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11}  = 4\) .

Câu 2. Xác định các giá trị của tham số m để với mọi x ta có

\( - 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\) .

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Điều kiện xác định \({x^2} - 7x + 11 \ge 0\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11}  = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 11 + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11}  - 3 = 0\end{array}\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 7x + 11} ,t \ge 0\). Ta có phương trình

\({t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 3\end{array} \right.\).

So với điều kiện chọn nghiệm t = 1.

Vây: \(\sqrt {{x^2} - 7 + 11}  = 1 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Phương trình có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 5.\)

Câu 2.

Ta có:  \(2{x^2} - 3x + 2 = 2\left( {{x^2} - \dfrac{3}{2}x + 1} \right) \)\(\;= 2\left[ {{{\left( {x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

 Do đó: \( - 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)

\(\Leftrightarrow  - \left( {2{x^2} - 3x + 2} \right) \le {x^2} + 5x + m < 7\left( {2{x^2} - 3x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m + 2 \ge 0\\13{x^2} - 26x + 14 - m > 0\end{array} \right.\)

Hệ bất phương trình trên đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta _1' \le 0\\\Delta _2' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 3\left( {m + 2} \right) \le 0\\169 - 13\left( {14 - m} \right) < 0\end{array} \right.\\{\rm{            }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - \dfrac{5}{3}\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{3} \le m < 1.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left[ { - \dfrac{5}{2};1} \right)\).