Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng a² + ab + b² ≥ 0 với mọi số thực a, b.

Phương pháp giải:

Biến đổi về hằng đẳng thức bậc hai.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {a^2} + ab + {b^2} \ge 0\cr & \Leftrightarrow {a^2} + 2a{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(a + {b \over 2})^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr} \)

Ta thấy điều trên luôn đúng nên suy ra đpcm.

Dấu = xảy ra khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} = 0\\
\frac{{3{b^2}}}{4} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 0\)

LG b

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương, chuyển vế đưa về bất đẳng thức luôn đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {a^4} + {b^4} \ge {\rm{ }}{a^3}b + a{b^3} \cr&\Leftrightarrow {a^4} - {a^3}b - a{b^3} + {b^4} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {a^3}(a - b) - {b^3}(a - b) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow (a - b)({a^3} - {b^3}) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}({a^2} + ab + {b^2}) \ge 0 \cr} \) 

Ta thấy rằng điều này luôn đúng vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,{a^2} + ab + {b^2} \ge 0,\forall a,b\)

Vậy a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³ với mọi a, b.

Dấu "=" xảy ra khi a=b.