Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

LG a

\({1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n(n + 1)}} < 1\)

Phương pháp giải:

\({1 \over {1.2}} = 1 - {1 \over 2};\,{1 \over {2.3}} = {1 \over 2} - {1 \over 3};\,....\,\,\,\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({1 \over {k(k + 1)}} = {{(k + 1) - k} \over {k(k + 1)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\,\,\,\forall k \ge 1\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n(n + 1)}} \cr&= 1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \cr 
& = 1 - {1 \over {n + 1}} < 1 \cr} \)

LG b

\({1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....+ {1 \over {{n^2}}} < 2\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k(k - 1)}} \Rightarrow {1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k - 1}} - {1 \over k}\,\,\,(k \le 2)\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\\
< 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right).n}}\\
= 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}\\
= 2 - \frac{1}{n} < 2
\end{array}\)