Câu 11 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)

Phương pháp giải:

Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết:

Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b}\,;\,{b \over a}\) là hai số dương nên:

\({a \over b} + {b \over a} \ge 2\sqrt {{a \over b}.{b \over a}}  = 2\) (theo bất đẳng thức Cô-si)

Dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow a = b\) (do a,b cùng dấu).

LG b

Nếu a, b là hai số trái dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \le  - 2\)

Lời giải chi tiết:

Nếu a, b là hai số trái dấu thì \(\dfrac{a}{b} < 0,\dfrac{b}{a} < 0\) \( \Rightarrow  - \dfrac{a}{b} > 0, - \dfrac{b}{a} > 0\)

Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương \(- \dfrac{a}{b} > 0, - \dfrac{b}{a}\) ta có:

\(\left( { - \dfrac{a}{b}} \right) + \left( { - \dfrac{b}{a}} \right)\) \( \ge 2\sqrt {\left( { - \dfrac{a}{b}} \right).\left( { - \dfrac{b}{a}} \right)}  = 2 \) \(\Rightarrow  - \left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) \ge 2\) \(  \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \le  - 2\)

Dấu = xảy ra khi \( - \dfrac{a}{b} =  - \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a =  - b\) do a,b trái dấu.