Câu 13 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + {2 \over {x - 1}}\) với x > 1.

Lời giải chi tiết

Vì x > 1 nên x – 1 và \({2 \over {x - 1}}\) là hai số dương.

Do đó:

\(f(x) = x + {2 \over {x + 1}} = 1 + (x - 1) + {2 \over {x - 1}} \) \(\ge 1 + 2\sqrt {(x - 1){2 \over {x - 1}}}  = 1 + 2\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = {2 \over {x - 1}} \) \(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là \( 1 + 2\sqrt 2 \) khi \(x = 1 + \sqrt 2 \).