Câu 2 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác

Nửa chu vi của tam giác đó là \(p = {{a + b + c} \over 2}\)

Ta có:

\(p - a = {{a + b + c - 2a} \over 2} = {{b + c - a} \over 2}\)

Vì \(b + c > a\) nên \({{b + c - a} \over 2}>0\) hay \(p > a\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(p > b\) và \(p > c\)

Cách khác:

Ta chứng minh: p > a.

Các bất đẳng thức p> b và p> c thì chứng minh tương tự.

Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác: tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên ta có:

b + c > a ⇔ a+ b+ c > 2a \( \Rightarrow \frac{{a + b + c}}{2} > a \Rightarrow dpcm\)