Câu 12 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = (x + 3)(5 – x)\) với \(-3 ≤ x ≤ 5\)

Lời giải chi tiết

Vì -3 ≤ x ≤ 5 nên x + 3 ≥ 0; 5 - x ≥ 0

* Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số không âm x + 3 và 5 – x ta được:

\(\begin{array}{l}x + 3 + 5 - x \ge 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {5 - x} \right)} \\ \Leftrightarrow 8 \ge 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {5 - x} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 \ge \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {5 - x} \right)} \\ \Leftrightarrow 16 \ge \left( {x + 3} \right)\left( {5 - x} \right)\\ \Rightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {5 - x} \right) \le 16\end{array}\)

Do đó, giá trị lớn nhất của (x + 3). (5 - x) là 16

Dấu “=” xảy ra khi: \(x - 3 = 5 - x \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\)

* Do x + 3 ≥ 0; 5 - x ≥ 0 nên (x + 3).(5 - x) ≥ 0

Lại thấy f(-3) = f(5) = 0

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là 0.

Dấu “=” xảy ra khi x= -3 hoặc x= 5.