Câu 6 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a³ + b³ ≥  ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Lời giải chi tiết

Ta có a³ + b³ ≥ ab(a + b)

⇔ (a+ b).(a² – ab + b² ) – ab (a+ b) ≥ 0

⇔ (a + b)(a² - ab + b² – ab) ≥ 0

⇔ (a + b)(a² - 2ab + b²) ≥ 0

⇔ (a + b)(a - b)² ≥ 0 (*)

Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a+b ≥ 0 và (a- b)² ≥ 0

=> Bất đẳng thức a³ + b³ ≥ ab(a + b) luôn đúng với a ≥ 0; b ≥ 0

*Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left[ \begin{array}{l}a + b = 0\\{\left( {a - b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\)