Câu 14 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì: \({{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3abc\)

Lời giải chi tiết

Do a,b,c> 0 nên \(\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a} > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a}\) ta có:

\({{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3\root 3 \of {{{{a^4}} \over b}.{{{b^4}} \over c}.{{{c^4}} \over a}}  = 3abc\)

Dấu “=”xảy ra \( \Leftrightarrow {{{a^4}} \over b} = {{{b^4}} \over c} = {{{c^4}} \over a} \Leftrightarrow a = b = c\)