Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Lời giải chi tiết

Với \(a > 0, b > 0\), ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}} \cr &\Leftrightarrow {{a + b} \over {ab}} \ge {4 \over {a + b}} \cr&\Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab \cr 
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \cr &\Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\cr &\Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0 \cr} \)

Ta thấy điều này luôn đúng

Vậy \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b\).

Cách khác:

Áp dụng bđt Cô si ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{1}{a}.\frac{1}{b}} = \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\\
a + b \ge 2\sqrt {ab} \\
\Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right)\\
\ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}.2\sqrt {ab} = 4\\
\Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 4\\
\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}
\end{array}\)