Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

Nếu x² + y² = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

Phương pháp giải:

Áp dụng bđt 2xy ≤ x² + y²

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có: \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\)

Khi đó: (x + y)² = x² + y² + 2xy

≤ x² + y² + x² + y² = 2

⇒ \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

Dấu = xảy ra khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
{x^2} + {y^2} = 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
2{x^2} = 1
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow x = y = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức bu- nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1; 1) và (x, y) ta được:

\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \cr &\le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr 
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \)

LG b

Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y²  ≥ 9 

Phương pháp giải:

Áp dụng bđt Bunhia:

\({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi-a – cốp- xki cho bộ hai số (4; -3) và ( x; y) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {4x - 3y} \right)^2} \le \left[ {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right]\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {15^2} \le 25\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9 \le {x^2} + {y^2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 9\end{array}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{4} = \frac{y}{{ - 3}}\\
4x - 3y = 15
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{5}\\y =  - \frac{9}{5}\end{array} \right.\)

Cách khác:

Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr 
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr &= {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)