Bài 1.68 trang 24 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y = {{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ: \(x =  - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\) nên TCX: \(y = x\).

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2\), \({y_{CD}} =  - 3\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 1\).

+) Đồ thị:

LG b

Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

\(y = {{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}} = \left| {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right| = \left| {f\left( x \right)} \right|\)

Do đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\) từ (C) như sau:

+) Giữ nguyên phần của đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.

+) Lấy đối xứng phần dưới của đồ thị của hàm số (C) qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.

LG c

Với các giá trị nào của m, phương trình

\({{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}} = m\)

Có bốn nghiệm phân biệt ?

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y=m và đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\).

Do đó để phương trình \({{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}} = m\) có 4 nghiệm phân biệt thì \(m>3\).